จำได้ว่าเคยอ่านข่าวเกี่ยวกับ Fermat’s Last Theorem (FLT) เมื่อหลายปีก่อน และบังเอิญได้สารคดีเรื่องนี้มาดู เขาทำเข้าใจง่ายดี ถึงจะไม่รู้เรื่องคณิตศาสตร์มากเท่าไหร่ก็พอจะตามเนื้อหาได้ .. เลยจะมาเล่าให้ฟังกัน .. เริ่มที่สูตรพิธากอรัสที่เราคุ้นตา

x² + y² = z²

สูตร พิธากรัสมีเซ็ตของคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มมากมาย เช่น {<3, 4, 5>, <5, 12, 13> , … } หลายคนคงรู้จักเลขพวกนี้ดี .. ที่น่าสนใจคือ ปี 1637 Pierre de Fermat นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ตั้ง theorem ไว้ว่า

“There are no positive integers x, y, and z such that xⁿ + yⁿ = zⁿ in which n is a natural number greater than 2.”

หมายความ ว่าจากสูตรพิธากอรัสถ้าเปลี่ยนเลขยกกำลังให้มากกว่า 2 มันจะไม่มีคำตอบเลย (i.e., เซ็ตของคำตอบเป็นเซ็ตว่าง) .. Theorem นี้เรียกกันภายหลังว่า Fermat’s Last Theorem .. Fermat เขียนไว้ว่าเขาพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง ต้นฉบับนั้นหายไปแล้ว ตำราอ้างอิงที่เก่าแก่ที่สุดของ FLT เขียนโดยลูกชายของ Fermat ซึ่งไม่ได้ลงข้อพิสูจน์ไว้ด้วย .. นักคณิตศาสตร์พากันสงสัยใน FLT มาตั้งแต่มีการตั้งทฤษฎี .. แต่ตลอดระยะเวลาสามร้อยกว่าปีไม่มีใครพิสูจน์ได้เลยว่า FLT ถูกต้องหรือเปล่า .. การพิสูจน์ FLT กลายเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยอมรับกันว่ายากที่สุดในโลกคณิตศาสตร์ ยากเสียจนแทบไม่มีนักคณิตศาสตร์ให้ความสนใจจะพิสูจน์มันอีกต่อไป .. กระทั่ง Andrew Wiles วัยสิบปีมาพบเข้า เขาตั้งใจจะพิสูจน์มันให้ได้ เมื่อโตขึ้น เขากลายมาเป็นศาตราจารย์ทางคณิตศาสตร์ และสามารถพิสูจน์ FLT ได้สำเร็จเมื่อปี 1995 ที่ผ่านมา

How to prove it ?

พื้นฐาน ของวิธีพิสูจน์มาจาก Tanimaya-Shimura conjecture ที่กล่าวไว้ว่า “All elliptic curves are modular forms” ฟังดูไม่น่าเกี่ยวกันกับ FLT เลย .. จนกระทั่ง Gerhard Fray สังเกตพบว่า

“Every counterexample aⁿ + bⁿ = cⁿ to Fermat’s last theorem would yield an elliptic curve defined as: y² = x (x – aⁿ) (x + bⁿ)”

ข้อสังเกต นี้ได้รับการตั้งชื่อภายหลังว่า ε-conjecture (epsilon conjecture) ความสำคัญของ ε-conjecture ในเรื่องนี้คือมันเป็นตัวเชื่อมระหว่าง elliptic curves กับ FLT เข้าด้วยกัน .. ถ้า ε-conjecture ได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นจริง เราสามารถพิสูจน์ FLT ได้ด้วยการพิสูจน์ Taniyama-Shimura conjecture .. Prof. Ken Ribet พิสูจน์ ε-conjecture ได้ในปี 1986 .. ตั้งแต่นั้นมา Prof. Wiles ก็พบทางที่จะเดินตามความฝันในวัยเด็ก เขาจึงเริ่มงานพิสูจน์ Taniyama-Shimura conjecture อันเป็นหนทางในการพิสูจน์ FLT

แม้จะพบ มุมมองที่ทำให้การพิสูจน์ง่ายขึ้นแล้ว แต่ก็การพิสูจน์ Taniyama-Shimura conjecture ก็ยังยากขนาดที่ไม่มีนักคณิตศาสตร์คนไหนอยากจะทำ .. Prof. Wiles พูดติดตลกว่า ตลอดเวลาทำงานของเขาไม่ต้องกลัวว่าจะมีคู่แข่งเลย เพราะเขาเป็นคนเดียวในโลกที่คิดเรื่องนี้อยู่ … ปัญหาเรื่องการพิสูจน์ Taniyama-Shimura conjecture สามารถมองได้หลายแบบ หนึ่งในนั้นคือการมองจำนวนคำตอบทั้งสองด้านของสมการ จากข้อสังเกตว่า “all elliptic curves are modular forms” เราสามารถพิสูจน์ conjecture ได้โดยหาจำนวนสมาชิกในเซ็ตคำตอบของ elliptic curves และ modular elliptic curves ถ้าจำนวนสมาชิกของคำตอบทั้งสองด้านเท่ากันในทุกกรณีก็ imply ได้ว่า conjecture เป็นจริง .. แต่เพราะเซ็ตคำตอบทั้งสองข้างของสมการเป็น infinite set จึงไม่สามารถนับจำนวนสมาชิกในเซ็ตได้ เทคนิคในการเลี่ยงก็คือแบ่งเซ็ตคำตอบตาม pattern ที่แน่นอนให้ได้เป็น finite set แล้วเอาจำนวนสมาชิกมาเปรียบเทียบกันแทน .. ที่ยากต่อจากเทคนิคนี้คือจะต้องหาวิธีนับสมาชิกใน finite set ที่แบ่งออกมาให้ได้ ซึ่ง Prof. Wiles เป็นคนพบเทคนิคในการนับจำนวนสมาชิกของคำตอบได้อย่างถูกต้อง .. แรกสุด Prof. Wiles ต้องการ class number formula ในการพิสูจน์ และเริ่มต้นเอา Iwasawa theory มาใช้ แต่ผ่านไปหลายเดือนก็ยังไม่สามารถ formulate class number formula ที่ต้องการออกมาได้ กระทั่งปี 1991 Prof. Matthias Flach เสนอวิธีการที่สามารถนำมาสร้าง class number formula ในแบบที่ตรงกับความต้องการของ Prof. Wiles พอดี .. Prof. Wiles โยน Iwasawa theory ทิ้ง และนำผลงานของ Prof. Flach มาใช้แทน .. เมื่อได้ class number formula แล้ว Prof. Wiles ก็มั่นใจว่าเขาจะพิสูจน์ FLT ได้แน่ๆ

ตลอด เวลาหกปีกว่า เขาเก็บเรื่องนี้เป็นความลับ ไม่มีใครรู้ จนวันที่เขามั่นใจแล้วว่าสามารถพิสูจน์ Taniyama-Shimura conjecture ได้ถึงได้บอก Prof. Nick Kats เพื่อขอความเห็นและตรวจสอบสิ่งที่เขาคิด ทั้งสองคนทำงานนี้อย่างลับๆ Prof. Kats จะเข้าฟังบรรยายของ Prof. Wiles เหมือนกับนักศึกษาอื่นๆ โดยเนื้อหาที่บรรยายเกี่ยวกับสิ่งที่เป็นเรื่องการขยายผลงานของ Prof. Flach .. Prof. Wiles ไม่ได้พูดว่างานนี้สามารถเอาไปพิสูจน์ conjecture หรือ FLT ได้ .. เมื่อ Prof. Kats ยืนยันว่าสิ่งที่ Prof. Wiles เสนอถูกต้องแล้ว ประกอบกับมีการจัดประชุมวิชาการทางคณิตศาสตร์ที่เคมบริดจ์ Prof.Wiles จึงอาสาเป็นผู้บรรยายในหัวข้อ Elliptic Curves and Galois Representations (เป็นวิธี represent elliptic curves ในแบบที่นับจำนวนได้ง่ายขึ้น) .. ตลอดเวลาไม่มีใครรู้ว่าการบรรยายนี้เป็นการพิสูจน์ FLT ทุกคนรู้แต่เพียงว่าเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์อย่างนึง แต่เพราะว่ามีข่าวลือว่า Prof. Wiles อาจจะมีอะไรบางอย่างมาบอกกันในการบรรยายครั้งนี้ ทำให้การบรรยายยิ่งใกล้จบยิ่งเข้มข้นและตึงเครียด .. จนกระทั่งจบการบรรยาย Prof. Wiles เขียนบนกระดานว่า Fermat’s Last Theorem แล้วกล่าวขึ้นว่า “ผมพิสูจน์มันได้แล้ว ..” รุ่งขึ้นสื่อก็ประโคมข่าวผลงานของ Prof. Wiles

It’s not that easy, isn’t it ?

อย่างไร ก็ตาม การบรรยายดังกล่าว ยังไม่นับว่าเป็นการพิสูจน์อย่างเป็นทางการ .. เช่นเดียวกับงานวิชาการอื่นๆ การพิสูจน์ต้องได้รับการตรวจสอบและตีพิมพ์ Prof. Wiles ส่ง manuscripts การพิสูจน์ให้ Prof. Kats เป็นผู้รับรอง .. Prof. Kats ใช้เวลาร่วมสองเดือนในการอ่าน manuscript และแล้วก็พบข้อผิดพลาดตรงจุดที่ขยายงานของ Prof. Flach ทำให้การพิสูจน์ล้มเหลว .. เมื่อได้ทราบข้่อผิดพลาดที่เกิด Prof. Wiles หาวิธีแก้ข้อผิดพลาดมาตลอด เขาชวนศิษย์เก่ามาช่วย ใช้เวลาอีกร่วมปี แต่ก็ไม่เป็นผลสำเร็จ จนแทบจะล้มเลิกความตั้งใจ ท้ายที่สุดเขาเวียนกลับมาดูจุดที่ผิดพลาดอย่างละเอียดอีกครั้ง เพื่อจะให้ตัวเองยอมรับในเหตุและผลว่ามันล้มเหลวจริงๆ .. การตรวจสอบครั้งนั้นทำให้เขาพบวิธีแก้โดยไม่คาดฝัน Prof. Wiles พบวิธีจะนำมันมาแก้ปัญหาของ Iwasawa theory ที่เขาตัดทิ้งไปในตอนแรก .. Prof. Wiles กล่าวถึงช่วงเวลาที่เขาพบวิธีแก้ปัญหาว่า

“It was the most important moment in my working life”

Q.E.D

ท้าย ที่สุด Prof. Wiles พิสูจน์ Taniyama-Shimura conjecture ได้สำเร็จ ทำให้มันไม่ใช่ conjecture อีกต่อไป และ Fermat’s Last Theorem ก็ได้รับการพิสูจน์อย่างแท้จริง .. Prof. Wiles ตีพิมพ์บทพิสูจน์ลง Annals of Mathematics ในปี 1995 .. Prof. Goro Shimura เจ้าของ Taniyama-Shimura conjecture กล่าวปิดตอนท้ายๆ ของสารคดีหลัง Prof. Wiles พิสูจน์ Taniyama-Shimura conjecture ได้สำเร็จ ว่า

“I told you so”

.. ฮา